狄利克雷函数即f(x)=1(当x为有理数)f(x)=0(当x为无理数)而周期函数的定义是对任意x,若f(x)=f(x+T),则f(x)是周期为T的周期函数。
显然,取T为任意一个确定的有理数,则当x是有理数时f(x)=1,且x+T是有理数,故f(x+T)=1,即f(x)=f(x+T)当x是无理数时,f(x)=0,且x+T是无理数,故有f(x+T)=0,即f(x)=f(x+T)。综上,狄利克雷函数是周期函数,其周期可以是任意个有理数,所以没有最小正周期。
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